Аппроксимация функций рядом Тейлора
Ряды Тейлора помогают аппроксимировать функции с помощью ряда полиномов . Другими словами, вы создаете функцию с множеством других меньших функций. В качестве простого примера вы можете создать число 10 из меньших чисел: 1 + 2 + 3 + 4. Таким же образом вы можете объединить простые многочлены для создания более сложной функции.
Зачем вам это делать?
1. Во многих случаях вы знаете, как выглядит функция на графике; но вы не знаете этого уравнения.
2. Если сложную функцию представить как суперпозицию простых (то есть разложить в ряд), - то поведение сложной функции можно будет предсказать по анализу поведения простых.
3. Используя лишь стандартные операции сложения, умножения, вычитания, деления находит с заданной точностью результат. Точность зависит от того, сколько членов ряда взято в расчет.
4. Так как вычисления приближенные, то это уменьшает общее время расчета. Все зависит от заданной точности.
Ряд Тейлора
Многочлены Тейлора могут быть использованы для аппроксимации функции вокруг любого значения для дифференцируемой функции. Другими словами, когда вы используете серию Тейлора, вы предполагаете, что вы можете найти производные для своей функции. Полиномы Тейлора выглядят немного уродливыми, но если вы разбиваете их на небольшие шаги, это на самом деле быстрый способ аппроксимировать функцию.
Многочлены Тейлора могут быть использованы для аппроксимации любой дифференцируемой функции.
Пример проблемы
Использовать полиномы Тейлора для аппроксимации функции cos (x) вокруг точки x = 2.
Примечания к символам, используемым в формуле:
- ! является факториальным символом
- «с» в примере - это точка, в которой вы оцениваете функцию в. В этом примере c = 2.
- f '(x) = первая производная.
- f "(x) - вторая производная (т. е. возьмем производную от производной), третью производную (т. е. возьмем производную от второй производной) ... и т. д.Например:
- f (x) = x 3 .
- Первая производная Р '(х) = 3x 2 ;
- Вторая производная f "(x): Производная от 3x 2 равна 6x, поэтому f" (x) = 6x
- Третья производная (т. Е. Возьмем производную от второй производной): f "'(x)
Шаги
Шаг 1: Оценим функцию для первой части многочлена Тейлора. :
Вы оцениваете cos(x) при x = 2, поэтому используйте cos (2):
Шаг 2. Оцените функцию для второй части многочлена Тейлора .
Первая производная cos (2) равна -sin (2), что дает нам:
что упрощается до -sin (2) (x - 2).
Добавив этот ответ к первой части шага 1, получим: p (x) = cos (2) - sin (2) (x-2)
Шаг 3. Оцените функцию для третьей части многочлена Тейлора (добавив ее к первой и второй частям этапа 2). На этом этапе вы берете вторую производную (f "(x)):
Вторая производная cos (x) = -cos (x), поэтому мы в итоге получаем:
Шаг 4. Оцените функцию для четвертой части многочлена Тейлора (добавив ее к первой, второй и третьей частям этапа 3):
Шаг 5. Продолжайте оценивать больше фрагментов многочлена Тейлора , периодически отображая функцию, чтобы увидеть, насколько хорошо он представляет ваш многочлен.
График аппроксимации Тейлора для cos (x) вблизи x = 2 после четырех итераций.
Совет. Технически вы можете продолжать вечно с итерациями полинома Тейлора, но обычно для хороших приближений достаточно пяти или шести итераций.
